第一節：使用內建函數做線性迴歸(1)

• 我們先簡單的熟悉一下如何在R語言內進行線性回歸

– 請至這裡下載範例資料

dat <- read.csv("ECG_train.csv", header = TRUE, fileEncoding = 'CP950', stringsAsFactors = FALSE, na.strings = "")

• 之前的課程其實就有教過了，我們試著用AGE來預測Rate：

X <- dat[,"AGE"]
Y <- dat[,"Rate"]
model <- lm(Y~X)
model

## 
## Call:
## lm(formula = Y ~ X)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)            X  
##     78.9313       0.1021

第一節：使用內建函數做線性迴歸(2)

• 或者可以用這種方式來分析：

model <- lm(Rate ~ AGE, data = dat)
model

## 
## Call:
## lm(formula = Rate ~ AGE, data = dat)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)          AGE  
##     78.9313       0.1021

• 也可以這樣打指令… (要好好學，這種型態的程式碼應用比較廣泛)

model <- lm(Rate ~ ., data = dat[,c('Rate', 'AGE')])
model

## 
## Call:
## lm(formula = Rate ~ ., data = dat[, c("Rate", "AGE")])
## 
## Coefficients:
## (Intercept)          AGE  
##     78.9313       0.1021

第一節：使用內建函數做線性迴歸(3)

• 線性回歸的基本原理是希望建立這樣的一個方程式：

\[\hat{y} = f(x) = b_{0} + b_{1}x\]

• 以剛剛的案例來說，我們可以建立出這樣的一個迴歸模型

\[\hat{Rate} = 78.9313 + 0.1021 \times Age\]

• 如果有個人的Age是60，那他的Rate預測值就是85.0573：

\[\hat{Rate} = 85.0573 = 78.9313 + 0.1021 \times 60\]

第一節：使用內建函數做線性迴歸(4)

• 如果要多增加一些變數，可以很簡單的用這種方法增加：

model <- lm(Rate ~ AGE + PR, data = dat)
model <- lm(Rate ~ ., data = dat[,c('Rate', 'AGE', 'PR')])
model

## 
## Call:
## lm(formula = Rate ~ ., data = dat[, c("Rate", "AGE", "PR")])
## 
## Coefficients:
## (Intercept)          AGE           PR  
##     99.0890       0.1203      -0.1373

• 如果你輸入了兩個x，那你的線性回歸方程式會改變成這樣：

\[\hat{y} = f(x) = b_{0} + b_{1}x_{1} + b_{2}x_{2}\]

• 以剛剛的案例來說，我們可以建立出這樣的一個迴歸模型

\[\hat{Rate} = 99.0890 + 0.1203 \times AGE - 0.1373 \times PR\]

第二節：線性回歸的計算原理(1)

• 使用內建函數「lm()」的確是可以找到一條預測線，但真的一定要這條線嘛? 我們看一下資料分布

X <- dat[,"AGE"]
Y <- dat[,"Rate"]
model <- lm(Y~X)

x <- c(10, 150)
y <- 78.9313 + 0.1021 * x

plot(X, Y, ylab = "Rate", xlab = "AGE", main = "Scatter plot of AGE and Rate", pch = 19, col = "#00000030")
lines(x, y, col = "red", lwd = 2)

• 看起來是很不錯，那他是怎麼找到的呢?

第二節：線性回歸的計算原理(2)

• 預測是一定會有誤差的，我們把這個誤差叫做「殘差(residual)」：

– 對於第\(i\)個人來說，他們的誤差長這樣：

\[\delta_i = y_{i} - \hat{y_{i}} = y_{i} - (b_{0} + b_{1}x_i)\]

– 線性迴歸分析的「目標」是希望能找到一組\(b_{0}\)與\(b_{1}\)讓「殘差平方和」最小化，我們把這個整體叫做\(loss\)：

\[loss = \sum \limits_{i=1}^{n} \delta_{i}^{2} = \sum \limits_{i=1}^{n} \left(y_{i} - \hat{y_{i}}\right)^{2}\]

– 上式進行全部展開可以獲得下列結果：

\[loss = \sum \limits_{i=1}^{n} \left(y_{i} - \left(b_{0} + b_{1}x_{i}\right)\right)^{2}\]

第二節：線性回歸的計算原理(3)

• 顯而易見剛剛的展開式是一個描述\(b_{0}\)與\(b_{1}\)與\(loss\)關係的函數

\[loss = \sum \limits_{i=1}^{n} \left(y_{i} - \left(b_{0} + b_{1}x_{i}\right)\right)^{2}\]

– 我們的目標是希望\(loss\)越小越好，因此我們可以將上述問題轉變為一個『優化問題』(求函數極值)：

\[min(loss)\]

• 在高中時代，我們就曾經學過如何求解函數極值，最有效率的方法是使用『微分』工具。舉例來說，我們現在希望求得下列函數的極值：

\[f(x) = x^{2} + 2x + 1\] - 接著，我們對上述函數進行微分，並尋找微分後函數為0的位置，將可以知道此函數的極值位置：

\[\frac{\partial}{\partial x} f(x) = 2x + 2 = 0\]

\[x = -1\]

第二節：線性回歸的計算原理(4)

• 看來我們現在就是要用『微分』找到\(loss\)的極值在哪，我們需要複習幾個微分的工具：

– 首先先介紹偏微分，一次牽涉到了2個以上元素的微分就需要用到他，我們用一個簡單的範例還示範：

\[f(a, b) = 4a^{2}- 4a + b^{2} - 2b + 5\]

• 我們先用比較傳統的方式求解(配方法)：

\[ \begin{align} f(a, b) & = (4a^{2} - 4a + 1) + (b^{2} - 2b + 1) + 3 \\ & = (2a - 1)^{2} + (b - 1)^{2} + 3 \end{align} \]

• 好，這下我們知道答案了，當\(a = 0.5\)並且\(b = 1\)時，此函數會有最小值\(3\)。

– 現在讓我們試著使用偏微分求導函數：

\[ \begin{align} \frac{\partial}{\partial a} f(a, b) & = 8a - 4 \\ \frac{\partial}{\partial b} f(a, b) & = 2b - 2 \end{align} \]

• 很明顯也可以看出極值存在於當\(a = 0.5\)並且\(b = 1\)時

第二節：線性回歸的計算原理(5)

• 現在回到線性回歸，我們的求解目標為找出一組特定的\(b_0\)以及\(b_1\)使\(loss\)最小化，因此我們將對\(loss\)做偏微分：

\[loss = \sum \limits_{i=1}^{n} \left(y_{i} - \left(b_{0} + b_{1}x_{i}\right)\right)^{2}\]

– 你可能需要複習一下連鎖率

\[\frac{\partial}{\partial x}h(x) = \frac{\partial}{\partial x}f(g(x)) = \frac{\partial}{\partial g(x)}f(g(x)) \cdot\frac{\partial}{\partial x}g(x)\]

– \(b_0\)以及\(b_1\)的偏導函數如下

\[ \begin{align} \frac{\partial}{\partial b_0}loss & = \frac{{1}}{n}\sum \limits_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial \hat{y_{i}}} \left(y_{i} - \hat{y_{i}}\right)^{2} \cdot \frac{\partial}{\partial b_0} \hat{y_{i}}\\ & = \frac{2}{n} \sum \limits_{i=1}^{n}\left( \hat{y_{i}} - y_{i} \right) \cdot \frac{\partial}{\partial b_0} (b_{0} + b_{1}x_{i}) \\ & = \frac{2}{n} \sum \limits_{i=1}^{n}\left( \hat{y_{i}} - y_{i} \right) \\\\ \frac{\partial}{\partial b_1}loss & = \frac{2}{n} \sum \limits_{i=1}^{n}\left( \hat{y_{i}} - y_{i} \right) \cdot x_{i} \end{align} \]

第二節：線性回歸的計算原理(6)

• 極值存在的地方就是當\(b_0\)以及\(b_1\)的偏導函數都為0的時候：

\[ \begin{align} \frac{\partial}{\partial b_0}loss & = \frac{2}{n} \sum \limits_{i=1}^{n}\left( \hat{y_{i}} - y_{i} \right) = 0\\ \frac{\partial}{\partial b_1}loss & = \frac{2}{n} \sum \limits_{i=1}^{n}\left( \hat{y_{i}} - y_{i} \right) \cdot x_{i} = 0 \end{align} \]

• 其中\(\frac{2}{n}\)為常數，我們先用等量公理捨去這項，並且把累加項展開：

\[ \begin{align} \sum \limits_{i=1}^{n} \hat{y_{i}} - \sum \limits_{i=1}^{n} y_{i} = 0\\ \sum \limits_{i=1}^{n} \hat{y_{i}} \cdot x_{i} - \sum \limits_{i=1}^{n} y_{i} \cdot x_{i} = 0 \end{align} \]

• 接著再把\(\hat{y_{i}}\)拆開，就能看到一個二元聯立方程式了：

\[ \begin{align} \sum \limits_{i=1}^{n} \left(b_{0} + b_{1}x_{i}\right) - \sum \limits_{i=1}^{n} y_{i} = 0\\ \sum \limits_{i=1}^{n} \left(b_{0} + b_{1}x_{i}\right) \cdot x_{i} - \sum \limits_{i=1}^{n} y_{i} \cdot x_{i} = 0 \end{align} \]

• 再稍微整理一下可以變成這樣：

\[ \begin{align} \sum \limits_{i=1}^{n} b_{0} + \sum \limits_{i=1}^{n} b_{1}x_{i} - \sum \limits_{i=1}^{n} y_{i} = 0\\ \sum \limits_{i=1}^{n} b_{0}x_{i} + \sum \limits_{i=1}^{n} b_{1}x_{i}x_{i} - \sum \limits_{i=1}^{n} y_{i}x_{i} = 0 \end{align} \]

• 其中\(b_0\)以及\(b_1\)是常數項，因此我們可以提出來：

\[ \begin{align} b_{0} n + b_{1} \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} - \sum \limits_{i=1}^{n} y_{i} = 0\\ b_{0} \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} + b_{1} \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}x_{i} - \sum \limits_{i=1}^{n} y_{i}x_{i} = 0 \end{align} \]

• 想辦法消掉\(b_0\)，上式乘以\(\frac{\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}}{n}\)可得：

\[ \begin{align} b_{0} \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} + \frac{1}{n} \cdot b_{1} \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} \cdot \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} - \frac{1}{n} \cdot \sum \limits_{i=1}^{n} y_{i} \cdot \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} = 0\\ b_{0} \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} + b_{1} \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}x_{i} - \sum \limits_{i=1}^{n} y_{i}x_{i} = 0 \end{align} \]

• 兩式相減，可以將\(b_0\)消掉：

\[ \begin{align} \frac{1}{n} \cdot b_{1} \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} \cdot \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} - b_{1} \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}x_{i} + \sum \limits_{i=1}^{n} y_{i}x_{i} - \frac{1}{n} \cdot \sum \limits_{i=1}^{n} y_{i} \cdot \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} & = 0\\ \frac{1}{n} \cdot b_{1} \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} \cdot \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} - b_{1} \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}x_{i} & = \frac{1}{n} \cdot \sum \limits_{i=1}^{n} y_{i} \cdot \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} - \sum \limits_{i=1}^{n} y_{i}x_{i}\\ b_{1} \cdot \left( \frac{1}{n} \cdot \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} \cdot \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} - \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}x_{i} \right) & = \frac{1}{n} \cdot \sum \limits_{i=1}^{n} y_{i} \cdot \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} - \sum \limits_{i=1}^{n} y_{i}x_{i}\\ b_{1} & = \frac{\frac{1}{n} \cdot \sum \limits_{i=1}^{n} y_{i} \cdot \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} - \sum \limits_{i=1}^{n} y_{i}x_{i}}{\frac{1}{n} \cdot \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} \cdot \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} - \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}x_{i}} \end{align} \]

練習1：試著親手算出線性迴歸係數

• 使用內建函數「lm()」所計算出的迴歸係數如下：

X <- dat[,"AGE"]
Y <- dat[,"Rate"]
model <- lm(Y~X)
model

## 
## Call:
## lm(formula = Y ~ X)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)            X  
##     78.9313       0.1021

• 你是不是能透過這個式子親手將\(b1\)與\(b0\)解出來呢?

\[ \begin{align} b_{1} & = \frac{\frac{1}{n} \cdot \sum \limits_{i=1}^{n} y_{i} \cdot \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} - \sum \limits_{i=1}^{n} y_{i}x_{i}}{\frac{1}{n} \cdot \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} \cdot \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} - \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}x_{i}} \\\\ b_{0} n + b_{1} \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} - \sum \limits_{i=1}^{n} y_{i} &= 0\\ b_{0} &= \frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} y_{i} - b_{1} \cdot \frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} \end{align} \]

練習1答案

• 現在我們必須要學習解讀方程式了。

– 需要注意的是，你必須先保留X與Y都沒有missing的才能進行計算：

subdat <- dat[!(dat[,"Rate"] %in% NA) & !(dat[,"AGE"] %in% NA),]
X <- subdat[,"AGE"]
Y <- subdat[,"Rate"]

sum_X <- sum(X)
sum_Y <- sum(Y)
sum_XY <- sum(X * Y)
sum_XX <- sum(X * X)
n <- length(X)

b1 <- (sum_Y * sum_X / n - sum_XY) / (sum_X * sum_X / n - sum_XX)
b1

## [1] 0.1021352

– 你應該有注意到\(\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}\)和\(\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} y_{i}\)其實就是\(x\)與\(y\)的平均值：

b0 <- mean(Y) - b1 * mean(X)
b0

## [1] 78.93125

• 是不是完全一樣呢?

第三節：矩陣化運算(1)

• 現在我們已經將簡單線性回歸(僅有1個x變項)解完了，你應該有注意到包含截距他共有2個未知數，所以我們其實是在解一組二元聯立方程式。

– 現在如果我們想要擴展到更多x變項，我們的聯立方程組就會更複雜，有沒有甚麼好方法呢?

• 同樣是剛剛的例子，我們試著以矩陣形式表達：

– 這是剛剛的例子：

\[ \begin{align} \hat{y_i} & = b_{0} + b_{1}x_i \\ y_i & = b_{0} + b_{1}x_i + \delta_i \end{align} \]

– 我們可以把這樣的式子看成這樣的形態：

\[ \begin{align} i = 1, y_1 & = b_{0} + b_{1}x_1 + \delta_1 \\ i = 2, y_2 & = b_{0} + b_{1}x_2 + \delta_2 \\ i = 3, y_3 & = b_{0} + b_{1}x_3 + \delta_3 \\ ... \\ i = n, y_3 & = b_{0} + b_{1}x_n + \delta_n \end{align} \]

第三節：矩陣化運算(2)

• 我們可以表達成矩陣的形式：

\[ \begin{align} Y & = XB + E \\\\ Y & = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \\ 1 & x_3 \\ 1 & \vdots \\ 1 & x_n \end{pmatrix} B = \begin{pmatrix} b_0 \\ b_1 \end{pmatrix} E = \begin{pmatrix} \delta_1 \\ \delta_2 \\ \delta_3 \\ \vdots \\ \delta_n \end{pmatrix} \end{align} \]

• 表達完了以後，我們再把式子整理一下，畢竟我們的目標是要求殘差平方和：

\[loss = E^TE = (Y-XB)^T(Y-XB)\]

– 我們的目標仍然是希望\(loss\)越小越好：

\[min(loss)\]

第三節：矩陣化運算(3)

• 我們要對矩陣\(B\)微分，並且求導函數為0的地方在哪裡：

\[ \begin{align} \frac{\partial}{\partial B}loss & = \frac{\partial}{\partial B} (Y-XB)^T(Y-XB) \\ & = \frac{\partial}{\partial B} (Y^T-B^TX^T)(Y-XB) \\ & = \frac{\partial}{\partial B} (Y^TY-B^TX^TY - Y^TXB + B^TX^TXB) \\ & = \frac{\partial}{\partial B} (Y^TY - 2B^TX^TY + B^TX^TXB) \\ & = - 2X^TY + 2X^TXB = 0 \end{align} \]

• 那這樣我們就可以列出矩陣\(B\)與矩陣\(Y\)和矩陣\(X\)的關係式了：

\[ \begin{align} X^TXB & = X^TY \\ B & = (X^TX)^{-1}X^TY \end{align} \]

第三節：矩陣化運算(4)

• 矩陣的運算與一般運算有許多相異之處，我們在這裡介紹一下矩陣相關的運算函數

1. 函數「matrix()」可以獲得矩陣

2. 函數「t()」可以求得轉置矩陣

3. 函數「solve()」可以求得反矩陣

4. 矩陣的乘法需要利用函數「%*%」來完成

x = 1:4
X = matrix(x, nrow = 2, ncol = 2)
X

##      [,1] [,2]
## [1,]    1    3
## [2,]    2    4

t(X)

##      [,1] [,2]
## [1,]    1    2
## [2,]    3    4

solve(X)

##      [,1] [,2]
## [1,]   -2  1.5
## [2,]    1 -0.5

y = 2:5
Y = matrix(y, nrow = 2, ncol = 2)
Y

##      [,1] [,2]
## [1,]    2    4
## [2,]    3    5

#注意下列兩者的差異
X%*%Y

##      [,1] [,2]
## [1,]   11   19
## [2,]   16   28

X*Y

##      [,1] [,2]
## [1,]    2   12
## [2,]    6   20

第三節：矩陣化運算(5)

• 我們還需要函數「rbind()」及「cbind()」幫忙完成矩陣：

x = 1:4
X = matrix(x, nrow = 2, ncol = 2)
y = 2:5
Y = matrix(y, nrow = 2, ncol = 2)

rbind(X, Y)

##      [,1] [,2]
## [1,]    1    3
## [2,]    2    4
## [3,]    2    4
## [4,]    3    5

rbind(Y, X)

##      [,1] [,2]
## [1,]    2    4
## [2,]    3    5
## [3,]    1    3
## [4,]    2    4

cbind(X, Y)

##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    1    3    2    4
## [2,]    2    4    3    5

第三節：矩陣化運算(6)

• 在R裡面要進行矩陣運算，我們還需要一些其他函數的幫忙，才能依序產生矩陣\(B\)、矩陣\(Y\)和矩陣\(X\)。

– 接著我們就能按照剛剛推導出來的公式獲得我們的結果：

\[ \begin{align} B & = (X^TX)^{-1}X^TY \end{align} \]

subdat <- dat[!(dat[,"Rate"] %in% NA) & !(dat[,"AGE"] %in% NA),]
X <- subdat[,"AGE"]
Y <- subdat[,"Rate"]

X_mat <- cbind(1, as.matrix(X))
Y_mat <- matrix(Y, ncol = 1)

B_mat <- solve(t(X_mat) %*% X_mat) %*% t(X_mat) %*% Y_mat
B_mat

##            [,1]
## [1,] 78.9312550
## [2,]  0.1021352

• 再對比一下結果：

model <- lm(Rate ~ ., data = dat[,c('Rate', 'AGE')])
model

## 
## Call:
## lm(formula = Rate ~ ., data = dat[, c("Rate", "AGE")])
## 
## Coefficients:
## (Intercept)          AGE  
##     78.9313       0.1021

練習2：擴展至多元複回歸

• 有了矩陣解之後我們發現，其實這個式子似乎是沒有限制矩陣\(X\)的大小，所以其實他是可以擴展到多元複回歸上的

– 請你利用矩陣運算重現這個分析結果：

model <- lm(Rate ~ ., data = dat[,c('Rate', 'AGE', 'PR')])
model

## 
## Call:
## lm(formula = Rate ~ ., data = dat[, c("Rate", "AGE", "PR")])
## 
## Coefficients:
## (Intercept)          AGE           PR  
##     99.0890       0.1203      -0.1373

練習2答案

• 跟剛剛的語法幾乎完全一樣：

subdat <- dat[!(dat[,"Rate"] %in% NA) & !(dat[,"AGE"] %in% NA) & !(dat[,"PR"] %in% NA),]
X <- subdat[,c("AGE", "PR")]
Y <- subdat[,"Rate"]

X_mat <- cbind(1, as.matrix(X))
Y_mat <- matrix(Y, ncol = 1)

B_mat <- solve(t(X_mat) %*% X_mat) %*% t(X_mat) %*% Y_mat
B_mat

##           [,1]
##     99.0890198
## AGE  0.1202761
## PR  -0.1372964

• 你是否會驚嘆矩陣算法的簡潔

第四節：虛擬變數(1)

• 你可能有注意到剛剛的資料集中，其中有一些類別變項，這樣的變項可以放入線性迴歸中嗎?

– 答案是可以的，對於已經編碼成0、1的變項我們可以直接把他放入線性迴歸，但是多類別的變項我們就不能直接放入線性迴歸之中。

• 我們先直接試試看把LVD和AMI直接加入線性回歸中，先使用內建函數進行運算：

model <- lm(Rate ~ ., data = dat[,c('Rate', 'AGE', 'LVD')])
model

## 
## Call:
## lm(formula = Rate ~ ., data = dat[, c("Rate", "AGE", "LVD")])
## 
## Coefficients:
## (Intercept)          AGE          LVD  
##   84.332737    -0.005113    12.423469

model <- lm(Rate ~ ., data = dat[,c('Rate', 'AGE', 'AMI')])
model

## 
## Call:
## lm(formula = Rate ~ ., data = dat[, c("Rate", "AGE", "AMI")])
## 
## Coefficients:
## (Intercept)          AGE    AMINSTEMI     AMISTEMI  
##    86.80025      0.05229     -9.15157     -6.95232

第四節：虛擬變數(2)

• 讓我們分別來把上面兩個式子寫成預測式

– For equation 1:

\[\hat{Rate} = 84.332737 - 0.005113 \times AGE + 12.423469 \times LVD\]

– For equation 2:

\[\hat{Rate} = 86.80025 + 0.05229 \times AGE - 9.15157 \times (AMI =NSTEMI) - 6.95232 \times (AMI =STEMI)\]

• 這樣的預測式是可以接受的，問題是我們要怎樣產生呢?

第四節：虛擬變數(3)

• 既然你已經發現了將類別變項加入迴歸分析中的方式，讓我們來示範一下如何產生「虛擬變數」：

dat[,'AMI1'] <- dat[,'AMI'] == 'NSTEMI'
dat[,'AMI2'] <- dat[,'AMI'] == 'STEMI'
model <- lm(Rate ~ ., data = dat[,c('Rate', 'AGE', 'AMI1', 'AMI2')])
model

## 
## Call:
## lm(formula = Rate ~ ., data = dat[, c("Rate", "AGE", "AMI1", 
##     "AMI2")])
## 
## Coefficients:
## (Intercept)          AGE     AMI1TRUE     AMI2TRUE  
##    86.80025      0.05229     -9.15157     -6.95232

• 看到答案一模一樣了吧！

練習3：利用矩陣式進行求解

• 為了讓你更熟悉矩陣運算的解法，請你用矩陣式解出剛剛分析完全相同的結果：

dat[,'AMI1'] <- dat[,'AMI'] == 'NSTEMI'
dat[,'AMI2'] <- dat[,'AMI'] == 'STEMI'
model <- lm(Rate ~ ., data = dat[,c('Rate', 'AGE', 'AMI1', 'AMI2')])
model

## 
## Call:
## lm(formula = Rate ~ ., data = dat[, c("Rate", "AGE", "AMI1", 
##     "AMI2")])
## 
## Coefficients:
## (Intercept)          AGE     AMI1TRUE     AMI2TRUE  
##    86.80025      0.05229     -9.15157     -6.95232

練習3答案

• 跟剛剛的語法幾乎完全一樣，就只是增加了兩個變項：

subdat <- dat[!(dat[,"Rate"] %in% NA) & !(dat[,"AGE"] %in% NA) & !(dat[,"AMI1"] %in% NA) & !(dat[,"AMI2"] %in% NA),]
X <- subdat[,c("AGE", "AMI1", "AMI2")]
Y <- subdat[,"Rate"]

X_mat <- cbind(1, as.matrix(X))
Y_mat <- matrix(Y, ncol = 1)

B_mat <- solve(t(X_mat) %*% X_mat) %*% t(X_mat) %*% Y_mat
B_mat

##             [,1]
##      86.80025338
## AGE   0.05228693
## AMI1 -9.15156608
## AMI2 -6.95232042

課程小結

• 我們終於接觸到課程中的數學部分了，有沒有感覺到原來簡單的線性回歸背後居然有這麼多複雜的數學

– 你是否為後面的課程感到害怕了呢?不用太緊張，矩陣微分可以說是本學期最難的部分了

– 另外，即使你不會數學原理，你同樣能透過內建函數獲得完全一樣的成果

• 但是理解背後的數學原理能提升你對人工智慧模型的掌握度，這對提升模型的準確度可能會有一點點幫助。這只是個開頭，希望大家不要落後太多！